Le problème de la stationnarité

L'analyse spectrale classique repose sur une hypothèse fondamentale : la covariance entre deux observations ne dépend que du décalage temporel qui les sépare, et non du moment où elles se produisent. Formellement, \(\text{Cov}(X(t),\, X(t+h)) = \gamma(h)\).

Lorsque cette hypothèse est violée — c'est-à-dire lorsque \(\text{Cov}(X(t), X(t+h)) = \gamma(t,h)\) dépend de \(t\) — le processus est dit non stationnaire. Son contenu fréquentiel évolue dans le temps. On parle alors de données à fréquence variable dans le temps (FVT). En font partie les signaux sismiques, les sons d'insectes et la volatilité financière.

Hiérarchie des solutions

1. Transformée de Fourier (référence de base)

\[G(f) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ifx}\, g(x)\, dx\] Globale par construction — aucune localisation temporelle. Inadaptée aux données FVT.

2. Transformée de Fourier à court terme (TFCT)

Une fenêtre \(h(x-t)\) vérifiant \(|h(t)| \to 0\) quand \(|t| \to \infty\) localise la transformée autour de l'instant \(t\) : \[G(t,f) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\, h(x-t)\, e^{-2\pi ifx}\, dx\] Amélioration partielle, mais la largeur de la fenêtre est fixe. Cela crée un compromis inévitable : fenêtre étroite = bonne résolution temporelle, mauvaise résolution fréquentielle. Fenêtre large = l'inverse. C'est l'analogue, en traitement du signal, du principe d'incertitude de Heisenberg.

3. Spectre de Wigner-Ville

Généralise le spectre de puissance aux processus non stationnaires : \[W(t,f) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \gamma\!\left(t+\tfrac{k}{2},\, t-\tfrac{k}{2}\right) e^{-2\pi ijk}\] Plus rigoureux théoriquement, mais souffre en pratique d'interférences entre termes croisés (le spectre est bilinéaire, ce qui génère des artefacts liés aux produits entre composantes du signal).

4. Ondelettes — Résolution adaptative

Plutôt qu'une fenêtre fixe, on utilise des dilatations d'une fonction unique — l'ondelette mère — dont l'échelle s'étire ou se comprime selon la fréquence d'intérêt. Les événements haute fréquence bénéficient d'une fenêtre étroite ; les tendances basse fréquence d'une fenêtre large.

Fourier vs. ondelettes : l'analogie clé

La base de Fourier est construite par dilatations de \(e^{ix}\) : \[S_2 = \{e^{ikx},\ k \in \mathbb{Z}\}\] Cela fonctionne localement, mais globalement \(|e^{ix}| = 1\) partout — la fonction ne décroît jamais. Donc \(e^{ix} \notin L^2(\mathbb{R})\), c'est-à-dire \(\int_{-\infty}^{\infty} |e^{ix}|^2\, dx = \infty\).

Les ondelettes prolongent cette idée en corrigeant le problème de décroissance. Une fonction est dite de carré intégrable si \[\int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|^2\, dx < \infty \quad (\text{noté } g \in L^2(\mathbb{R}))\] Une condition nécessaire pour \(g \in L^2(\mathbb{R})\) est \(|g(t)| \to 0\) quand \(|t| \to \infty\). C'est précisément ce que le sinus et le cosinus ne satisfont pas — et ce que l'ondelette mère \(\Omega\) doit satisfaire.

L'ondelette mère

Soit \(\Omega \in L^2(\mathbb{R})\) l'ondelette mère. Toute sa famille d'éléments de base est générée par deux opérations :

• Dilatation par l'entier \(j\) : étire ou comprime l'ondelette (contrôle l'échelle / la fréquence)
• Translation par l'entier \(k\) : déplace l'ondelette dans le temps (contrôle la localisation)

\[\Omega_{j,k}(x) = 2^{-j/2}\, \Omega(2^{-j}x - k)\] Le facteur \(2^{-j/2}\) assure la normalisation \(\|\Omega_{j,k}\| = \|\Omega\|\) pour tout \(j, k\). Grand \(j\) → ondelette étirée → capte les structures basse fréquence. Petit \(j\) → ondelette comprimée → capte les oscillations haute fréquence.

Résultat d'approximation fondamental

Toute fonction \(g \in L^2(\mathbb{R})\) admet la représentation : \[g(x) = \sum_{j=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} d_{j,k}\, \Omega_{j,k}(x)\] avec égalité au sens des moindres carrés (convergence en \(L^2\)). Les coefficients de la transformée en ondelettes sont : \[d_{j,k} = \frac{1}{\|\Omega\|^2} \int_{-\infty}^{\infty} g(t)\, \Omega_{j,k}(t)\, dt\]

Il s'agit d'une projection de \(g\) sur chaque élément de base — exactement analogue aux coefficients de Fourier \(\hat{g}(k) = \int g(t)\, e^{-ikt}\, dt\), mais désormais indexés à la fois par l'échelle \(j\) et la localisation \(k\).

Tableau comparatif

Figures