I.La soif que l'eau ne coupe pas

« Celui qui aime l'argent n'est pas rassasié par l'argent, et celui qui aime les richesses n'en profite pas. C'est encore là une vanité. »

Ecclésiaste 5:10 (Segond 1910)

Le verset décrit un mécanisme, pas un vice : la satisfaction s'adapte au niveau des dépenses, puis exige davantage. La psychologie moderne l'appelle adaptation hédonique ; modélisons-la. La consommation croît au taux \( g \) : \( C(t) = C_0 e^{gt} \). La référence intérieure \( R \) — ce à quoi on est habitué — poursuit la consommation avec un retard \( 1/\lambda \) : \( \dot R = \lambda (C - R) \). La satisfaction est logarithmique dans le rapport, pas dans le niveau :

\[ S(t) = \ln\frac{C(t)}{R(t)} \;\xrightarrow[t \to \infty]{}\; S_\infty = \ln\!\left(1 + \frac{g}{\lambda}\right). \]

Le résultat est brutal : à long terme, la satisfaction ne dépend pas du niveau des dépenses, seulement du rapport entre leur croissance \( g \) et la vitesse d'adaptation \( \lambda \). Dépenser dix fois plus, à croissance nulle, rend exactement aussi satisfait qu'avant — c'est le « n'est pas rassasié » du verset, avec sa raison : pour maintenir \( S \) au-dessus de zéro, il faut que les dépenses croissent pour toujours, exponentiellement. Le rassasiement par l'argent n'est pas difficile ; il est structurellement impossible dès que \( \lambda > 0 \).

II.Sept parts, et même huit

« Jette ton pain sur la face des eaux, car avec le temps tu le retrouveras ; donnes-en une part à sept et même à huit, car tu ne sais pas quel malheur peut arriver sur la terre. »

Ecclésiaste 11:1-2 — voir aussi 11:6 (Segond 1910)

L'article précédent traitait la diversification par la variance — la loi \( \sigma\sqrt{\rho + (1-\rho)/n} \). Qohélet vise autre chose : non pas lisser les fluctuations, mais survivre au malheur, l'événement qui détruit une part entièrement. Supposons que chaque part, chaque année, soit anéantie avec probabilité \( p \) — naufrage, faillite, expropriation — indépendamment des autres. Sur un horizon \( T \), une part survit avec probabilité \( (1-p)^T \), et la probabilité de tout perdre vaut

\[ P_{\text{ruine}}(n) = \left(1 - (1-p)^T\right)^{n}. \]

L'espérance de richesse ne dépend pas de \( n \) : diviser ne rapporte rien en moyenne. Tout le bénéfice est dans la queue de distribution — la ruine décroît exponentiellement avec le nombre de parts. Et l'exponentielle a un coude : les premières divisions font l'essentiel du travail, les suivantes presque rien. Le verset ne dit pas « divise à l'infini » ; il dit sept, et même huit — puis s'arrête. La raison d'arrêter est dans la formule : au-delà du coude, chaque part supplémentaire coûte en frais et en surveillance plus qu'elle ne retranche de ruine.

III.Le taux d'actualisation des impies

« Ils se sont dit, raisonnant de travers : “Il est court et triste le temps de notre vie […] Venez donc, jouissons des biens présents ; usons des créatures avec l'ardeur de la jeunesse.” »

Sagesse 2:1,6 (Crampon 1923)

Le livre de la Sagesse fait quelque chose de rare : il met en scène un raisonnement économique complet — prémisse, inférence, décision — pour le réfuter. Les impies posent un horizon court et une valeur terminale nulle, puis en déduisent, correctement, la consommation immédiate. La théorie du cycle de vie donne la formule exacte : un agent qui croit disposer de \( n \) années consomme chaque année la fraction annuité de son capital,

\[ c = W \cdot \frac{r}{1 - (1+r)^{-n}}, \]

qui explose quand \( n \) diminue — à \( n \) petit, elle tend vers \( W/n \) : tout, tout de suite. L'erreur des impies n'est donc pas dans l'optimisation, qui est irréprochable ; elle est dans l'estimation du paramètre \( n \). Le texte le dit exactement ainsi : « raisonnant de travers » — et conclut en 2:21 « telles sont leurs pensées, mais ils se trompent ». Un agent qui planifie sur 15 ans et en vit 60 passe les trois quarts de son existence dans l'état que sa propre équation lui avait préparé : capital nul.

IV.L'actif qui engendre tous les autres

« Je l'ai préférée aux sceptres et aux trônes, et à son prix j'ai tenu pour rien les richesses. […] Avec elle me sont venus à la fois tous les biens, et des richesses innombrables sont dans ses mains. »

Sagesse 7:8,11 (Crampon 1923)

Lisez ces deux versets comme un arbitrage de portefeuille : Salomon a échangé de la richesse (un stock) contre de la sagesse (une capacité), et le stock lui est revenu multiplié. C'est la définition du capital humain. Comparons les deux emplois d'une somme \( W_0 \) : la placer au rendement \( r \), ou la dépenser en formation qui élève le revenu de \( Y \) à \( (1+\beta)Y \) pour toujours. Avec un taux d'épargne \( s \), la voie financière part de \( W_0 \) et épargne \( sY \) ; la voie de la sagesse part de zéro et épargne \( sY(1+\beta) \). La seconde rattrape la première si et seulement si

\[ \frac{s\,Y\,\beta}{r} \;>\; W_0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \beta \;>\; \beta^\* = \frac{r\,W_0}{s\,Y}. \]

Le membre de gauche est la valeur de perpétuité du surcroît d'épargne : la formation n'est pas une dépense, c'est l'achat d'une rente. Dès que \( \beta \) dépasse le seuil, le rattrapage est inéluctable et l'écart croît ensuite exponentiellement — « tous les biens me sont venus avec elle » est la description exacte d'un flux qui alimente chaque année future, contre un capital qui ne compose que sur lui-même.

V.Le jubilé, ou la première actualisation

« Tu achèteras de ton prochain d'après le nombre des années depuis le jubilé ; et il te vendra d'après le nombre des années de récolte. Plus il y aura d'années, plus tu élèveras le prix ; et moins il y aura d'années, plus tu le réduiras ; car c'est le nombre des récoltes qu'il te vend. »

Lévitique 25:15-16 (Segond 1910)

Tous les cinquante ans, le jubilé rend chaque terre à sa famille d'origine ; entre-temps, une vente n'est qu'un bail. Le texte en tire la règle de prix : on n'achète pas la terre, on achète ses récoltes restantes — « c'est le nombre des récoltes qu'il te vend ». Avec une récolte annuelle \( y \) et \( n \) années avant le jubilé, le prix légal est \( P = y \cdot n \) : la somme non actualisée des flux futurs. La finance moderne actualise :

\[ P_{\text{DCF}}(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{y}{(1+r)^k} = y\,\frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} \;\xrightarrow[r \to 0]{}\; y \cdot n. \]

La règle du Lévitique est donc la formule d'annuité prise en \( r = 0 \) — et ce n'est pas une approximation naïve, c'est une cohérence interne : vingt versets plus loin, le même chapitre interdit l'intérêt entre frères (25:36-37, « tu ne tireras de lui ni intérêt ni usure »). Dans une économie où \( r = 0 \) est la loi, l'actualisation correcte est exactement linéaire. Le chapitre 25 contient ainsi, en un seul bloc, la première évaluation par flux de trésorerie actualisés connue — et le taux d'actualisation cohérent avec son propre droit du crédit.

VI.La première table actuarielle

« Si tu as à faire l'estimation d'un mâle de vingt à soixante ans, ton estimation sera de cinquante sicles d'argent […] de cinq à vingt ans, ton estimation sera de vingt sicles […] d'un mois à cinq ans, ton estimation sera de cinq sicles […] de soixante ans et au-dessus, ton estimation sera de quinze sicles. »

Lévitique 27:3-7 (Segond 1910)

Le chapitre 27 fixe le tarif de rachat des vœux : une personne « consacrée » peut être rachetée à un prix fixé par la loi, gradué par âge — 5 sicles avant cinq ans, 20 de cinq à vingt ans, 50 de vingt à soixante, 15 au-delà (échelle féminine : 3, 10, 30, 10). C'est un barème administratif ; c'est aussi, structurellement, une table actuarielle : la valeur d'une personne d'âge \( a \) comme valeur actualisée de sa production restante,

\[ V(a) = q(a)\sum_{t \ge a}^{} \frac{w(t)}{(1+r)^{\,t-a}}, \]

où \( w(t) \) est la productivité par âge (pleine de 20 à 60 ans, réduite ensuite) et \( q(a) \) la probabilité de survivre jusqu'à l'âge productif — non négligeable dans un monde où la moitié des enfants n'atteignaient pas l'âge adulte. Deux paramètres, \( r \) et \( q \), et le barème sort presque tout seul : l'enfant vaut peu non par mépris, mais parce que sa production est lointaine (actualisée) et incertaine (mortalité) ; le sexagénaire retombe sous l'adolescent parce qu'il ne lui reste que quelques années de flux. Le barème encode un taux d'actualisation implicite — élevé, comme il convient à une économie agraire risquée.

Synthèse

Trois livres, trois registres, six objets mathématiques. Qohélet énonce deux théorèmes de l'aléatoire : la satisfaction plafonne à \( \ln(1+g/\lambda) \) quel que soit le niveau des dépenses (5:10), et la ruine décroît en \( q^n \) — d'où l'arrêt raisonnable à sept ou huit parts (11:2). La Sagesse fournit les deux théorèmes du capital : une erreur d'horizon rend optimale la consommation immédiate (2:1-9), et une capacité qui élève le flux bat un stock qui compose, dès que \( \beta > rW_0/sY \) (7:8-11). Le Lévitique, enfin, donne les deux théorèmes de l'évaluation : le prix d'une terre est l'annuité de ses récoltes — linéaire précisément parce que l'intérêt y est interdit (25:15-16) — et le tarif des personnes est une valeur actualisée de production restante, mortalité comprise (27:3-7). Le sceptique, le philosophe et le législateur n'avaient ni le calcul stochastique ni les tables de mortalité ; ils avaient regardé les mêmes trajectoires que nous.

Le fer aiguise le fer (Proverbes 27:17) : commentaires, objections et contre-exemples bienvenus. Versets cités dans les traductions Louis Segond 1910 (Ecclésiaste, Lévitique) et Augustin Crampon 1923 (Sagesse), toutes deux dans le domaine public ; la Sagesse est un livre deutérocanonique. Paramètres illustratifs, rien ici n'est un conseil financier.