Simulations Mathématiques
Systèmes dynamiques • Géométrie • Chaos • Visualisation
Explorations numériques de phénomènes mathématiques complexes : équations différentielles, transformations géométriques et comportements chaotiques.
Copula Laboratory
Probabilité • Structures de dépendance • Risque financier & climatique
Une copule sépare la dépendance entre variables de leurs lois marginales — c'est le théorème de Sklar. Ce laboratoire simule cinq familles (Gaussian, Student-t, Clayton, Gumbel, Frank) en temps réel : faites varier le paramètre θ et observez la structure de dépendance se déformer pendant que les marginales restent fixes. Chaque mesure empirique (τ de Kendall, ρ de Spearman, dépendances de queue λL, λU) est confrontée à sa forme close issue de la théorie.
Théorème de Sklar
F(x, y) = C( F_X(x) , F_Y(y) )
λ_L = lim_{u→0⁺} P( U₂ ≤ u | U₁ ≤ u ) (dépendance de queue inférieure)
λ_U = lim_{u→1⁻} P( U₂ > u | U₁ > u ) (dépendance de queue supérieure)
τ = 4 ∬ C(u,v) dC(u,v) − 1 (τ de Kendall)
Scénarios appliqués
Technique : simulation par méthode conditionnelle / inversion (Marshall-Olkin pour les Archimédiennes, décomposition de Cholesky pour les elliptiques), CDF inverses des marginales calculées numériquement, rendu Canvas en blending additif. Aucune dépendance externe, un seul fichier. Mesures empiriques vs formes closes de Cherubini, Durante & Mulinacci, Principles of Copula Theory.
Point Cloud Lab
3D • Projections Ortho & Sphérique • LiDAR / Vision
Exploration interactive de nuages de points : visualisation 3D, projection orthographique (top-down) et projection sphérique type panorama. Démonstration d’un pipeline 3D → 2D utilisé en vision, photogrammétrie et LiDAR.
Trajectoire GPS — Cinématique
Trajectoires • Paramétrisation • Visualisation
Visualisation d'une trajectoire GPS sous forme cinématique : interpolation temporelle, lissage et mise en scène 2D/3D pour rendre la dynamique lisible.
À venir : affichage de la vitesse, coloration par le temps, et carte/repères.
Morphing de Polyèdres
Géométrie • Transformations • Interpolation
Une exploration visuelle des transitions géométriques entre polyèdres réguliers et semi-réguliers. La simulation illustre les interpolations continues entre différentes structures polyédriques, révélant les relations géométriques sous-jacentes.
Polyèdres inclus
Technique : Interpolation linéaire des coordonnées des sommets avec normalisation pour maintenir l'échelle. La rotation continue met en évidence la symétrie de chaque forme.
Attracteur de Lorenz
Chaos déterministe • Sensibilité aux conditions initiales
Le système de Lorenz est un exemple emblématique de chaos déterministe. Malgré des règles d'évolution parfaitement déterminées, le système présente une sensibilité extrême aux conditions initiales. La vidéo montre la trajectoire en 3D et ses projections sur les plans canoniques.
Équations du système
dx/dt = σ (y − x) dy/dt = x (ρ − z) − y dz/dt = x y − β z
À venir : Visualisation de la divergence exponentielle de trajectoires proches, dimension fractale de l'attracteur, et coloration par le temps ou la vitesse locale.
Pendule Amorti Non Linéaire
Équation différentielle • Dissipation d'énergie
Simulation d'un pendule rigide sous l'effet de la gravité et d'un amortissement linéaire.
Le terme sin(θ) introduit une non-linéarité qui distingue
le comportement réel de l'approximation harmonique aux petits angles.
Équation du mouvement
d²θ/dt² + a dθ/dt + (g/ℓ) sin(θ) = 0
Où θ est l'angle par rapport à la verticale, a le coefficient d'amortissement, g l'accélération gravitationnelle et ℓ la longueur du pendule.
À venir : Graphes d'énergie E(t), portrait de phase (θ, dθ/dt), et comparaison avec la solution linéarisée pour mettre en évidence les effets non linéaires.
Méthodologie
Chaque simulation combine modélisation mathématique rigoureuse et rendu visuel optimisé pour révéler la structure sous-jacente des phénomènes étudiés.
Modélisation
Formulation mathématique précise (EDO, EDP, transformations géométriques). Étude de l'espace des phases et analyse de stabilité.
Calcul numérique
Intégration avec méthodes adaptatives (RK4, RK45) et pas de temps optimisé. Validation par conservation des invariants.
Visualisation
Rendu 3D avec caméra dynamique, trajectoires fluides et projections multiples. Export haute qualité pour web et présentation.
Analyse
Interprétation géométrique et physique des résultats. Documentation complète des paramètres et hypothèses.
Prochaine étape : Développement d'une interface interactive permettant l'ajustement en temps réel des paramètres et l'exploration guidée de l'espace des solutions.
Contact
📍 Québec, Canada