Signaux harmoniques et bruit dans les séries temporelles

📅 Mars 2026 ⏱️ ~10 min de lecture 🏷️ Séries temporelles • Analyse spectrale • ARMA

Dans de nombreux problèmes, le système physique qui génère les données impose une période fixe. La température moyenne (par exemple avec une saisonnalité annuelle), les signaux radio et télévision, certaines ondes sismiques ou encore les cardiogrammes en sont des exemples typiques. Dans ce contexte, un modèle harmonique (éventuellement perturbé par du bruit) constitue souvent une représentation naturelle des données.

1) Modèle harmonique à phase aléatoire (sans bruit additif)

Considérons le modèle

Y t = Σ j=1 m A j cos(2π f j t + U j)

où $A j$ et $f j$ sont des constantes, et où les phases $U j$ sont des variables aléatoires indépendantes distribuées selon $Uniform(0, 2π)$ .

Intuition : les phases aléatoires assurent la stationnarité dans le temps (il n'existe pas d'origine temporelle privilégiée), tandis que les fréquences représentent les périodicités imposées par les mécanismes physiques.

2) Cas m = 1 (une seule fréquence)

Soit

Y t = A cos(2π f t + U), U ~ Uniform(0, 2π)

On peut montrer que

E(Y t) = 0 Var(Y t) = A² / 2

La fonction d'autocovariance est

γ(k) = (A² / 2) cos(2π f k)

Par conséquent, la fonction d'autocorrélation (ACF) est

ρ(k) = γ(k)/γ(0) = cos(2π f k)

3) Densité spectrale : pourquoi obtient-on des « raies »

La densité spectrale est la transformée de Fourier de l'autocovariance :

S Y (f) = Σ k=-\infty \infty γ(k) e -2πifk

Pour un sinus pur à phase aléatoire, le spectre consiste en deux pics aux fréquences harmoniques :

S Y (f) = (A²/4)[δ(f - f₀) + δ(f + f₀)]

Remarque importante : δ représente ici la distribution de Dirac (une impulsion dans le domaine des fréquences), et non le delta de Kronecker utilisé pour les indices discrets.

4) Cas général (m fréquences)

Pour

Y t = Σ j=1 m A j cos(2π f j t + U j)

la fonction d'autocorrélation devient une somme pondérée de cosinus :

ρ(k) = ( Σ j=1 m A j ² cos(2π f j k) ) / ( Σ j=1 m A j ² )

et le spectre est une somme de raies :

S Y (f) = Σ j=1 m (A j ² / 4) [δ(f - f j) + δ(f + f j)]

5) Modèle signal + bruit (plus réaliste)

Les observations réelles sont rarement parfaitement harmoniques. Un modèle plus réaliste est

Y t = H t + N t

où $H t$ est la composante harmonique et $N t$ un processus de bruit stationnaire (souvent modélisé par un ARMA).

Pour une seule fréquence :

Y t = A cos(2π f t + U) + N t

Alors

γ Y (k) = (A²/2) cos(2π f k) + γ N (k)

et la densité spectrale se décompose :

S Y (f) = (A²/4)[δ(f-f₀)+δ(f+f₀)] + S N (f)

Interprétation : la partie harmonique produit des pics nets dans le spectre, tandis que le bruit génère un fond spectral plus lisse.

6) Exemple et lien avec les modèles ARMA

Considérons

Y t = 4.4 cos(2πt/12 + U) + N t

Il s'agit d'un signal de période 12 (saisonnalité mensuelle) perturbé par du bruit. Un exercice intéressant consiste à approximer ce processus « signal + bruit » par un modèle ARMA(2,2). Les modèles ARMA peuvent reproduire des structures oscillatoires similaires dans l'autocorrélation, ce qui en fait une approximation pratique lorsque l'on ne modélise pas explicitement la composante sinusoïdale.

Références

Applied Time Series Analysis