Formellement : soit \( W_t \) la richesse d'un agent. L'accumulation s'intéresse à \( \mathbb{E}[W_t] \). La survie s'intéresse à \( \mathbb{P}\!\left(\inf_{s \le t} W_s \le 0\right) \) — la probabilité qu'à un moment quelconque, la trajectoire touche zéro. Zéro est absorbant : on ne compose plus rien à partir de rien. Toute l'espérance du monde ne ressuscite pas une trajectoire absorbée.

Les sept lois qui suivent sont vieilles comme le prêt à intérêt. Ce qui est moins vieux, c'est qu'on peut aujourd'hui les démontrer — et les simuler. Chaque section énonce une loi, la formalise, puis la laisse tourner sous vos yeux.

I.L'asymétrie des pertes

« L'or fuit celui qui le force à des gains impossibles. »

Une perte et un gain de même taille ne sont pas symétriques. Après une perte relative \( L \), le gain requis pour revenir au point de départ est

\[ R(L) = \frac{L}{1-L}, \]

une fonction convexe qui explose près de 1 : perdre 10 % se répare avec 11 % ; perdre 50 % exige 100 % ; perdre 90 % exige 900 %. La convexité de \( R \) est la première raison mathématique d'être défensif : le coût d'une erreur croît plus vite que son amplitude. Et le temps de réparation suit : à un rendement annuel \( r \), il faut \( t = -\ln(1-L)/\ln(1+r) \) années pour combler le trou.

II.Le poison de la variance

« Un petit gain qui revient toujours vaut mieux qu'un grand qui se dérobe. »

Deux actifs peuvent avoir la même moyenne arithmétique de rendement et des destins opposés. Pour des rendements composés, ce qui compte est la moyenne géométrique, et l'inégalité arithmético-géométrique impose une taxe :

\[ g \;\approx\; \mu \;-\; \frac{\sigma^2}{2}. \]

La volatilité est un drag — un frottement quadratique. À \( \mu = 8\,\% \), un actif à \( \sigma = 40\,\% \) a une croissance médiane \( g \approx 0\,\% \) : la moyenne \( \mathbb{E}[W_t] \) monte (tirée par quelques trajectoires miraculeuses), la médiane stagne. L'écart entre moyenne et médiane, c'est l'écart entre ce que la loterie promet en espérance et ce qui arrive à vous, l'unique trajectoire que vous vivrez. C'est le cœur du problème d'ergodicité en finance.

III.La ruine du joueur

« Même la main la plus sûre perd si elle mise trop gros. »

Marche aléatoire classique : capital initial \( a \), objectif \( N \), mise unitaire, probabilité de gain \( p \), \( q = 1-p \). La probabilité d'être absorbé en zéro avant d'atteindre \( N \) est

\[ \psi(a) = \frac{(q/p)^a - (q/p)^N}{1 - (q/p)^N}, \qquad \psi(a) = 1 - \frac{a}{N} \ \text{ si } p = \tfrac12. \]

Deux lectures. D'abord, à jeu défavorable (\( p < \tfrac12 \)), la ruine devient exponentiellement certaine quand l'ambition \( N \) grandit — c'est le théorème du casino. Ensuite, plus subtil : même avec un avantage (\( p > \tfrac12 \)), la ruine reste possible, et sa probabilité dépend de la granularité de la mise. Un avantage statistique sans contrôle de la taille des positions n'est pas une stratégie ; c'est une ruine différée. (Le dimensionnement optimal — Kelly — était traité dans l'article précédent ; ici on regarde ce qui arrive quand on l'ignore.)

IV.Le point fixe de la dette

« Rembourse d'abord ; un cinquième de ce que tu gagnes suffit, mais chaque mois. »

Une dette au taux mensuel \( i \), remboursée par un paiement constant \( M \), suit la récurrence affine

\[ D_{t+1} = (1+i)\,D_t - M, \]

dont le point fixe est \( D^\* = M/i \). Ce point fixe est instable (la pente \( 1+i > 1 \)) : en dessous, la dette s'effondre vers zéro en temps fini ; au-dessus, elle diverge exponentiellement. Toute la théorie du surendettement tient dans cette dichotomie. Et le « paiement minimum » des cartes de crédit est calibré pour vous laisser au voisinage du point fixe — là où la dette est presque immobile et l'intérêt presque perpétuel. Le temps de libération, quand \( M > iD_0 \), vaut \( n = -\ln(1 - iD_0/M)/\ln(1+i) \) : il est brutalement non linéaire en \( M \), ce qui explique pourquoi un effort de remboursement légèrement supérieur change tout.

V.L'équation d'une promesse impossible

« Le rendement qui court plus vite que le monde est emprunté à quelqu'un. »

Un schéma qui promet un taux \( \rho \) sans rien produire doit payer les anciens avec l'argent des nouveaux. Notons \( L_t \) le passif (les soldes promis), \( C_t \) la caisse réelle, \( n_t = n_0 e^{\gamma t} \) les dépôts entrants et \( w \) le taux de retrait. En temps continu :

\[ \dot L = \rho L + n(t) - wL, \qquad \dot C = n(t) - wL. \]

Le passif croît au rythme \( \rho - w \) plus les entrées ; la caisse ne reçoit que les entrées. La condition de survie est essentiellement \( \gamma \gtrsim \rho - w \) : il faut recruter à un rythme exponentiel comparable au taux promis. Comme aucune population d'épargnants ne croît exponentiellement pour toujours, l'effondrement n'est pas un risque du modèle — c'en est un théorème. Le seul paramètre libre est la date. À l'inverse, le ratio d'honnêteté \( C_t / L_t \) décroît dès le premier jour : c'est la statistique que le schéma doit cacher, et celle qu'un auditeur demande en premier.

VI.Le théorème du coussin

« La première part de tout ce qui entre dans ta main t'appartient. Garde-la. »

Voici le plus beau résultat de cette page, emprunté à la théorie de la ruine actuarielle. Modélisez vos finances comme un assureur se modélise lui-même : un excédent initial \( u \) (le fonds d'urgence), une prime \( c \) (votre épargne mensuelle), et des sinistres qui arrivent selon un processus de Poisson d'intensité \( \lambda \) avec des coûts i.i.d. de moyenne \( m \) — la transmission qui lâche, l'urgence dentaire, le contrat qui tombe. C'est le modèle de Cramér–Lundberg :

\[ U(t) = u + ct - \sum_{k=1}^{N(t)} X_k. \]

Écrivez la prime avec un chargement de sécurité \( \theta \) : \( c = (1+\theta)\lambda m \) — vous épargnez \( \theta \) de plus que le coût moyen des chocs. Pour des coûts exponentiels, la probabilité de ruine à horizon infini admet une forme fermée :

\[ \psi(u) = \frac{1}{1+\theta}\, e^{-Ru}, \qquad R = \frac{\theta}{m(1+\theta)}. \]

Lisez bien la structure : la sécurité est exponentielle dans le coussin \( u \) et le coefficient \( R \) — la vitesse de cette exponentielle — est piloté par \( \theta \), c'est-à-dire par votre taux d'épargne. Chaque mois de dépenses ajouté au coussin multiplie la probabilité de survie par le même facteur. Peu d'actes financiers offrent des rendements exponentiels garantis ; constituer une réserve en est un.

Synthèse : les sept lois

Post-scriptum — Aucune de ces lois n'est nouvelle. On raconte qu'elles circulaient déjà, gravées dans l'argile, chez les prêteurs des bords de l'Euphrate. Il ne leur manquait que les exponentielles.