1.L'équation maîtresse

Tout part d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. Avec un revenu \( Y \), un taux d'épargne \( s \) et un rendement \( r \), la richesse suit

\[ \frac{dW}{dt} = sY + rW, \qquad W(t) = \left(W_0 + \frac{sY}{r}\right)e^{rt} - \frac{sY}{r}. \]

Deux forces, deux régimes. Au début, le terme \( sY \) domine : la richesse croît linéairement, au rythme de l'effort. Puis \( rW \) prend le dessus et la croissance devient exponentielle : le capital travaille plus que vous. Le point de bascule — le moment où les intérêts dépassent les versements — arrive quand \( W = sY/r \), c'est-à-dire d'autant plus tôt que \( r \) est grand. Le temps de doublement du régime exponentiel vaut \( \ln 2 / r \) : la règle de 72 est un développement limité qui a réussi.

2.Le temps de liberté

Définissons l'indépendance financière comme le moment où le capital peut financer les dépenses courantes à un taux de retrait \( w \) (classiquement 4 %, soit un multiple \( 1/w = 25 \) des dépenses annuelles). Avec des dépenses \( (1-s)Y \), la cible est \( W^\dagger = 25(1-s)Y \), et l'équation maîtresse donne le temps pour l'atteindre :

\[ T(s) = \frac{\ln\!\left(1 + \dfrac{25\,r\,(1-s)}{s}\right)}{\ln(1+r)}. \]

La structure de \( T(s) \) est remarquable : le taux d'épargne apparaît en rapport \( (1-s)/s \) — il agit deux fois, en accélérant l'accumulation et en abaissant la cible. C'est pourquoi \( T \) est hyperboliquement sensible à \( s \) quand \( s \) est petit : passer de 10 % à 15 % d'épargne rachète plus d'années que passer de 40 % à 45 %. Le rendement \( r \), lui, n'agit qu'au dénominateur logarithmique : aux horizons courts, l'épargne bat le rendement.

3.Le hasard multiplicatif

Le rendement réel n'est pas une constante ; c'est un processus. Le modèle canonique est le mouvement brownien géométrique :

\[ dW_t = \mu W_t\,dt + \sigma W_t\,dB_t \quad\Longrightarrow\quad W_t = W_0\, e^{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma B_t}. \]

Toute la structure est dans l'exposant. La trajectoire médiane croît au taux \( \mu - \sigma^2/2 \) — pas \( \mu \). La moyenne \( \mathbb{E}[W_t] = W_0 e^{\mu t} \) croît plus vite, mais elle est portée par une minorité de trajectoires extrêmes que vous ne vivrez probablement pas. En échelle logarithmique, le faisceau devient un cône de droites : la pente médiane est \( \mu - \sigma^2/2 \), la largeur croît en \( \sigma\sqrt{t} \). C'est la géométrie complète du long terme en deux paramètres.

4.Le critère de Kelly

Quelle fraction \( f \) du capital exposer à un actif risqué de prime \( \mu - r \) et de volatilité \( \sigma \) ? Si l'objectif est de maximiser le taux de croissance logarithmique à long terme, la réponse est un problème d'optimisation à une variable :

\[ g(f) = r + f(\mu - r) - \tfrac{1}{2}f^2\sigma^2, \qquad f^\* = \frac{\mu - r}{\sigma^2}. \]

Une parabole. Trois zones. À gauche de \( f^\* \) : de la croissance laissée sur la table. À droite : chaque unité de risque supplémentaire détruit de la croissance — et à \( f = 2f^\* \), la prime est intégralement rendue à la variance : on porte tout le risque pour zéro excès de croissance. La parabole est plate au sommet et abrupte à droite : l'erreur de sous-exposition coûte peu, l'erreur de surexposition coûte tout. D'où la pratique du « Kelly fractionnaire » : viser \( f^\*/2 \), parce que \( \mu \) et \( \sigma \) sont des estimations, et que l'asymétrie de la parabole punit l'optimisme.

5.La moyenne harmonique de l'accumulateur

Un fait arithmétique discret mérite sa place entre ces théorèmes continus. Celui qui investit un montant fixe à intervalles réguliers acquiert des parts au prix moyen

\[ \bar P_{\text{coût}} = \frac{\sum_t c}{\sum_t c/P_t} = \text{moyenne harmonique des } P_t \;\le\; \text{moyenne arithmétique}, \]

avec égalité seulement si le prix ne bouge jamais. Le versement constant achète mécaniquement plus de parts quand le prix baisse : la convexité de \( 1/P \) travaille pour l'acheteur régulier. Attention à ce que ce résultat dit — et ne dit pas. Il ne dit pas qu'étaler un capital disponible batte l'investissement immédiat (en dérive positive, c'est en moyenne l'inverse). Il dit que pour celui qui accumule au fil du revenu — le cas réel de l'épargnant —, la volatilité du chemin n'est pas son ennemie : elle abaisse son prix de revient.

6.Le cycle du capital humain

Le plus gros actif d'un jeune diplômé n'apparaît sur aucun relevé : c'est la valeur actualisée de ses revenus futurs,

\[ H(t) = \int_t^{R} y(u)\, e^{-r(u-t)}\, du, \]

où \( y(u) \) est le profil de revenu et \( R \) l'âge de retraite. À 25 ans, \( H \) se compte en millions actualisés et \( W \approx 0 \) ; toute la vie financière consiste à convertir l'un en l'autre avant que \( H \) ne s'éteigne. Cette lecture change les décisions : la formation est un investissement dans \( y(u) \) — donc dans \( H \) — dont le rendement se compose sur toute la carrière ; et le portefeuille financier d'un jeune peut porter plus de risque, parce que son actif dominant, \( H \), se comporte comme une obligation indexée sur son travail.

Synthèse

Une seule histoire traverse ces six objets : la richesse est un processus \( dW = (\text{flux de contrôle})\,dt + (\text{exposition choisie})\,dB \), et les leviers n'agissent pas au même moment. Tôt : \( s \) et \( H \) — l'épargne et la capacité à gagner. Tard : \( r \), \( \sigma \) et le temps. Le critère de Kelly borne l'exposition, la moyenne harmonique console des trajectoires agitées, et le croisement \( H = W \) date le milieu de la vie financière. Reste la question symétrique — non plus comment le processus croît, mais comment il meurt : c'est l'arithmétique de la ruine.

Les paramètres par défaut sont illustratifs, pas prescriptifs ; les rendements sont réels (nets d'inflation) et les impôts sont laissés en exercice au lecteur.