La finance selon l'Ecclésiastique (Ben Sira)

Quatrième volet, après Salomon, l'Ecclésiaste, la Sagesse et le Lévitique et les talents, Jacob et Joseph. À ne pas confondre avec l'Ecclésiaste : l'Ecclésiastique — le Siracide, ou Ben Sira — est écrit vers 190 av. J.-C. à Jérusalem, traduit en grec par le petit-fils de l'auteur à Alexandrie, et rangé parmi les deutérocanoniques (« apocryphes » pour la tradition protestante). C'est, de tous les livres de sagesse, le plus concrètement financier : il donne un taux de recouvrement, une règle de dimensionnement des cautions, un manuel de tenue de registres. Même méthode : le verset, l'équation, la simulation. Six affirmations, six mises à l'épreuve.

I.Le prêt, le défaut et la moitié à peine

« Beaucoup regardent comme une trouvaille ce qu'on leur a prêté, et causent de l'ennui à ceux qui leur sont venus en aide. Jusqu'à ce qu'on ait reçu, on baise la main du prochain, d'une voix humble on vante ses richesses ; mais quand vient le moment de rendre, on prend des délais, on ne rend que des paroles de plainte, et on accuse la dureté des temps. »

Ecclésiastique 29:4-5 (Crampon 1923)

Ben Sira décrit le cycle de vie complet d'une créance douteuse : la flatterie avant, les délais après, la « dureté des temps » comme excuse. Et au verset suivant, il chiffre le recouvrement : si le débiteur a des moyens, « le prêteur recevra la moitié à peine » (29:6). Prêter, c'est donc acheter une loterie : avec probabilité \( d \) le défaut survient et l'on ne récupère qu'une fraction \( \rho \) ; sinon on touche \( 1 + r \). L'espérance par unité prêtée :

\[ \mathbb{E}[\text{rendement}] = (1-d)(1+r) + d\,\rho - 1, \qquad d^{*} = \frac{r}{\,r + 1 - \rho\,}. \]

Le seuil \( d^{*} \) est la probabilité de défaut au-delà de laquelle le prêt détruit de la valeur au taux \( r \). La simulation trace l'espérance en fonction de \( d \), avec le recouvrement de Ben Sira — la moitié — en valeur par défaut.

Espérance de rendement d'un prêt selon la probabilité de défaut

Taux d'intérêt r : 10 % Recouvrement ρ : 50 %

Observation. La suite du chapitre est un traité de crédit en quatre lignes : beaucoup refusent de prêter « à cause de la malice des hommes » (29:7) — le rationnement du crédit ; et pourtant, prête au pauvre, quitte à « consentir à perdre ton argent » (29:10) — l'aumône comme perte anticipée et assumée, hors du calcul. Ben Sira sépare exactement ce que la finance moderne sépare : le prêt, qui doit couvrir sa perte attendue, et le don, qui ne prétend pas être un prêt.

II.La caution « selon ton pouvoir »

« Une caution a entraîné la perte de beaucoup d'heureux, et les a ballottés comme les vagues de la mer ; elle a fait bannir des hommes puissants, et ils ont dû errer parmi les nations étrangères. […] Assiste ton prochain selon ton pouvoir, et prends garde de tomber toi-même dans le malheur. »

Ecclésiastique 29:17-18,20 (Crampon 1923)

Ben Sira ne dit pas : ne te porte jamais caution — il dit au contraire que « l'homme bon se porte caution pour son prochain » (29:14). Il dit : selon ton pouvoir. C'est une règle de dimensionnement. Supposons qu'au long d'une vie on signe \( N \) cautions, chacune engageant une fraction \( f \) de la fortune, chacune appelée avec probabilité \( q \). Après \( k \) appels, il reste \( (1-f)^k \) de la fortune ; la « perte » au sens du verset — être ballotté comme les vagues — survient quand il en reste moins de la moitié :

\[ k_{\text{ruine}} = \left\lceil \frac{\ln \tfrac{1}{2}}{\ln(1-f)} \right\rceil, \qquad \mathbb{P}[\text{ruine}] = \mathbb{P}\bigl[K \ge k_{\text{ruine}}\bigr], \quad K \sim \mathrm{Bin}(N, q). \]

La simulation trace cette probabilité de ruine en fonction de la fraction engagée \( f \), pour \( N = 10 \) cautions sur une vie. Le point jaune marque votre \( f \) ; la ligne rouge, un plafond de prudence à 10 %.

Probabilité de perdre la moitié de sa fortune en 10 cautions

Fraction engagée par caution f : 25 % Probabilité d'appel q : 15 %

Observation. « Selon ton pouvoir » est un plafond de position avant la lettre : la générosité est permise, l'exposition non bornée ne l'est pas. La courbe est convexe — doubler la fraction engagée fait bien plus que doubler le risque de ruine, parce que les appels se multiplient sur la fortune au lieu de s'additionner. C'est le même argument que le critère de Kelly : ce qui compte n'est pas la perte moyenne, mais la perte composée.

III.L'or qui ôte le sommeil : le point d'« assez »

« Les veilles du riche consument les chairs, et les soucis lui enlèvent le sommeil. Un souci perpétuel empêche le sommeil, comme une maladie grave le bannit. […] Heureux le riche qui sera trouvé sans tache, et qui n'est pas allé après l'or ! »

Ecclésiastique 31:1-2,8 (Crampon 1923)

L'Ecclésiaste disait que l'argent ne rassasie pas ; Ben Sira dit autre chose : qu'il coûte. Chaque unité de fortune apporte un bénéfice décroissant — c'est la concavité classique — mais exige une part de veille, de souci, de garde, qui elle croît linéairement. Le bien-être net :

\[ U(W) = b\,\ln(1+W) - a\,W, \qquad W^{*} = \frac{b}{a} - 1. \]

Le maximum intérieur \( W^{*} \) est le point d'« assez » : en deçà, s'enrichir améliore la vie ; au-delà, chaque unité supplémentaire coûte plus de sommeil qu'elle ne rapporte de bien-être. Le « riche heureux » du verset 8 n'est pas le plus riche — c'est celui qui s'est arrêté du bon côté de \( W^{*} \) et « n'est pas allé après l'or ». Fortune mesurée en années de revenu.

Bien-être net selon la fortune : bénéfice concave, souci linéaire

Coefficient de souci a : 0,10 Intensité du bénéfice b : 1,0

Observation. Ce n'est pas le tapis roulant hédonique du deuxième article : ici les préférences ne s'adaptent pas, c'est le coût de détention qui monte. Veilles, gardes, procès, peur du vol — l'économie moderne parlerait de coûts de portage du patrimoine et de charge cognitive. L'optimum intérieur existe dès que le souci est linéaire et le bénéfice concave ; toute la question, propre à chacun, est la pente \( a \) de son inquiétude.

IV.« J'ai trouvé le repos » : le festin différé

« Tel est riche à force de soin et de parcimonie, et voici la part qui lui échoit en récompense : il peut dire : "J'ai trouvé le repos, et maintenant je vais manger de mon bien." Mais il ne sait pas quel temps s'écoulera ; il va laisser ses biens à d'autres et mourir. »

Ecclésiastique 11:16-17 (Crampon 1923)

C'est le riche insensé deux siècles avant la parabole de Luc 12. Son erreur n'est pas d'épargner : c'est d'optimiser comme si le taux de mortalité était nul. La fortune différée de \( n \) années vaut \( (1+r)^n \) fois plus — mais on n'est là pour la manger qu'avec la probabilité de survie \( S(n) \), qui décroît d'autant plus vite qu'on vieillit (mortalité de Gompertz, le risque double environ tous les huit ans). Le « festin espéré » :

\[ F(n) = S(n)\,(1+r)^n, \qquad S(n) = \exp\!\Bigl(-\tfrac{\lambda_A}{g}\bigl(e^{gn}-1\bigr)\Bigr), \qquad n^{*} : \; \lambda(A+n^{*}) = \ln(1+r). \]

Le report optimal \( n^{*} \) est atteint quand le risque de mourir dans l'année rattrape le rendement : différer au-delà, c'est laisser « ses biens à d'autres » en espérance. La simulation trace la fortune (vert), la survie (rouge) et leur produit (jaune) pour une personne d'âge \( A \).

Le festin espéré : fortune croissante × probabilité d'être là pour la manger

Âge actuel A : 60 ans Rendement r : 5 %

Observation. Trois chapitres plus loin, Ben Sira donne le remède (14:11-16) : donner et jouir de ses biens pendant la vie, avant que le tour n'en soit passé. Le calcul le confirme : plus on est âgé, plus \( n^{*} \) fond, jusqu'à devenir négatif — le moment de « manger de mon bien » est alors déjà passé. L'actualisation correcte d'une consommation différée n'est pas \( r \), c'est \( r \) moins le taux de mortalité ; l'oublier, c'est la définition actuarielle de l'avarice.

V.Le péché entre la vente et l'achat

« Beaucoup pèchent pour de l'argent, et celui qui cherche à s'enrichir détourne les yeux. La cheville s'enfonce entre les jointures des pierres : ainsi le péché pénètre entre la vente et l'achat. »

Ecclésiastique 27:1-2 (Crampon 1923)

L'image est d'une précision d'ingénieur : la fraude ne loge pas dans la pierre — la transaction elle-même — mais dans le joint, l'interstice entre ce que l'acheteur voit et ce que le vendeur sait. Gary Becker en a fait un calcul en 1968 : on triche si le gain espéré dépasse la sanction espérée. Avec un gain de fraude \( g \), une probabilité de détection \( p \) et une amende de \( k \) fois le gain :

\[ \mathbb{E}[\text{fraude}] = m + g\bigl(1 - p\,(1+k)\bigr) \;\gtrless\; m, \qquad p^{*} = \frac{1}{1+k}. \]

En dessous du seuil de détection \( p^{*} \), la fraude domine la marge honnête \( m \) — et son attrait relatif \( g/m \) est d'autant plus fort que la marge honnête est mince : « beaucoup pèchent pour de l'argent ». La simulation trace le profit espéré du marchand honnête et du marchand qui triche, en fonction de \( p \).

Profit espéré par transaction : honnête contre fraudeur (gain de fraude : 5)

Marge honnête m : 5 Amende k × le gain : 3

Observation. Ben Sira liste au chapitre 42 les choses dont il ne faut pas rougir, et la quatrième est « d'user de balances justes et de justes poids » (42:4) : l'honnêteté marchande y est un devoir qui se déclare, pas une évidence. Le modèle dit pourquoi : tant que \( p < p^{*} \), l'honnêteté coûte de l'argent à celui qui la pratique. Elle ne devient gratuite que si la détection est crédible — d'où la section suivante.

VI.« Compte, pèse et mets par écrit »

« Ce que tu livres à tes gens, compte-le et pèse-le, et mets par écrit ce que tu donnes et ce que tu reçois. »

Ecclésiastique 42:7 (Crampon 1923)

Deux siècles avant notre ère, Ben Sira prescrit le grand-livre. Le modèle est celui des erreurs de caisse : sur \( n \) transactions, chacune comporte une erreur non détectée avec probabilité \( e \), de signe aléatoire. Sans registre, l'écart entre la caisse réelle et la caisse supposée suit une marche aléatoire — il croît comme \( \sqrt{n\,e} \) et personne ne sait quand il a commencé. Avec un registre pointé tous les \( k \) mouvements, l'écart est borné par la fenêtre d'audit :

\[ \sigma_{\text{sans registre}} \approx \sqrt{n\,e}, \qquad \sigma_{\text{avec registre}} \approx \sqrt{k\,e}, \qquad k \ll n. \]

La simulation suit 200 transactions : l'écart cumulé sans registre (gris) dérive ; avec registre (vert), chaque pointage — les points jaunes — le ramène à zéro et identifie l'erreur pendant qu'elle est encore traçable.

Écart de caisse cumulé sur 200 transactions, avec et sans registre

Taux d'erreur e : 5 % Pointage tous les k mouvements : 20

Observation. Le verset précédent dit : « là où il y a beaucoup de mains, mets sous clef » (42:6) — le contrôle interne avant la lettre, séparation des accès comprise. L'écriture ne rend pas les gens honnêtes ; elle rend la détection probable, c'est-à-dire qu'elle relève le \( p \) de la section V au-dessus de \( p^{*} \). Les deux versets forment un système : la sanction dissuade, le registre rend la sanction crédible.

Synthèse

Les trois premiers articles de cette série parlaient de croissance — la composition géométrique en \( (1+r)^t \), \( s^t \), \( L^n \). Ben Sira, lui, écrit sur les probabilités qui la multiplient. Chacune de ses six leçons est une espérance : le prêt vaut \( (1-d)(1+r) + d\rho \) et le recouvrement vaut « la moitié à peine » (I) ; la caution se dimensionne pour borner une probabilité de ruine binomiale (II) ; la fortune a un optimum intérieur dès que le souci est linéaire (III) ; le festin différé se pondère par la survie, et le report optimal fond avec l'âge (IV) ; la fraude marchande est une espérance qui change de signe au seuil de détection (V) ; et le registre écrit est ce qui déplace ce seuil (VI). Le Siracide est le livre du praticien : là où la Genèse et Matthieu donnaient la dynamique, Ben Sira donne la gestion des risques — et il la donne chiffrée.

Le fer aiguise le fer (Proverbes 27:17) : commentaires, objections et contre-exemples bienvenus. Versets cités dans la traduction Augustin Crampon 1923, dans le domaine public ; l'Ecclésiastique est un livre deutérocanonique et la numérotation des versets varie légèrement selon les éditions. Paramètres illustratifs, rien ici n'est un conseil financier.