Modèles ARCH et GARCH – Salem Nkunda Nyisingize

📅 Mars 2026 ⏱️ ~10 min de lecture 🏷️ Séries temporelles • Volatilité • Économétrie financière

Dans certains phénomènes naturels, comme les données sismiques, de longues périodes calmes peuvent soudainement être interrompues par une activité intense. Les marchés financiers présentent un comportement similaire. Les rendements peuvent fluctuer légèrement pendant un certain temps puis entrer dans une phase de turbulences importantes.

Cette alternance entre périodes calmes et périodes turbulentes est appelée regroupement de volatilité (volatility clustering). Elle signifie que les grandes variations ont tendance à être suivies d'autres grandes variations, tandis que les petites fluctuations sont suivies de fluctuations également faibles.

Ce phénomène contredit l'hypothèse classique selon laquelle la variance d'une série temporelle serait constante. Les modèles ARCH et GARCH ont été développés pour décrire précisément cette évolution dynamique de la variance.

1) Variance conditionnelle

Soit $a t$ une suite d'innovations ou de résidus obtenus après avoir retiré la composante prévisible d'une série temporelle.

Dans les modèles classiques, on suppose généralement

Var(a t) = σ²

Cependant, dans de nombreuses applications empiriques, la variance dépend du passé. On introduit alors la variance conditionnelle :

σ² t|t-1 = E(a² t | a t-k, k = 1,2,...)

Cette quantité représente l'espérance du carré de l'innovation sachant les informations passées.

Dans les données financières, comme les rendements quotidiens du Dow Jones entre 1928 et 2010, certaines périodes présentent une volatilité beaucoup plus forte que d'autres. Les années 1930 ou encore le krach de 1929 et le lundi noir de 1987 en sont des exemples marquants.

L'absence de corrélation n'implique pas la normalité. La corrélation ne mesure que la dépendance linéaire. Une série peut être non corrélée tout en ayant une variance qui varie dans le temps.

2) Le modèle ARCH

Le modèle ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) permet de modéliser cette variabilité dynamique.

a t = σ t|t-1 ε t

où

ε t

est une suite i.i.d. de moyenne nulle et de variance unitaire. La variance conditionnelle est donnée par

σ² t|t-1 = α₀ + α₁ a² t-1

avec

0 \leq α₁ < 1

Ainsi, la volatilité d'aujourd'hui dépend de la taille du choc observé hier.

3) Dynamique des carrés

On peut montrer que

a² t = α₀ + α₁ a² t-1 + w t

où

w t = σ² t|t-1 (ε² t - 1)

Ainsi, même si

a t

n'est pas autocorrélé, les carrés peuvent présenter une dépendance temporelle.

4) Le modèle ARCH(q)

σ² t|t-1 = α₀ + α₁ a² t-1 + α₂ a² t-2 + ... + α q a² t-q

5) Le modèle GARCH

Le modèle GARCH généralise ARCH en incorporant également les variances passées.

σ² t|t-1 = α₀ + β₁ σ² t-1|t-2 + α₁ a² t-1

Ce modèle capture la persistance de la volatilité observée dans de nombreuses séries financières.

6) Exemples

ARCH(4)

σ² t|t-1 = 0.1 + 0.36 a² t-1 + 0.27 a² t-2 + 0.18 a² t-3 + 0.09 a² t-4

ARCH(8)

σ² t|t-1 = 0.1 + 0.2 a² t-1 + 0.175 a² t-2 + 0.15 a² t-3 + 0.125 a² t-4 + 0.1 a² t-5 + 0.075 a² t-6 + 0.05 a² t-7 + 0.025 a² t-8

GARCH(1,1)

σ² t|t-1 = 0.1 + 0.45 a² t-1 + 0.45 σ² t-1|t-2

Comparaison de la volatilité conditionnelle pour les modèles ARCH et GARCH.

Conclusion

Les modèles ARCH et GARCH constituent une avancée majeure dans l'analyse des séries temporelles. Ils permettent de modéliser explicitement la variabilité du risque dans le temps, phénomène omniprésent dans les données financières, économiques et même physiques.

En capturant la dynamique de la volatilité, ces modèles offrent un cadre mathématique puissant pour comprendre pourquoi certaines périodes sont calmes alors que d'autres sont marquées par des fluctuations extrêmes.

Référence

Applied Time Series Analysis